Primer Paso - Copiar archivos: 

 Lo primero que debemos hacer es copiar todos los archivos que poseas en tu servidor a tu PC a traves de un  cliente ftp.

Segundo Paso - Backup de la base de datos MySQL: 

La base de datos no se puede copiar directamente por lo tanto debes exportar el contenido de la base de datos  hacia tu PC, donde esta queda como un archivo SQL, esto se puede realizar fácilmente con el Phpmyadmin.

En el Phpmyadmin de tu actual servidor, en la columna izquierda selecciona la base de datos que deseas exportar, hecho esto te aparecera el listado de tablas que la base de datos contiene. Clickea en la pestaña que dice EXPORT. Cuando exportes la base de datos, exporta SOLO las tablas de tu base de datos, ya que si exportas la base en si se creara la instruccion "CREATE DATABASE", cosa que practicamente ningun host permite hacerlo de manera directa, debes crear la base tu mismo en el panel de control de tu servidor.

Tercer Paso - Subir el sitio en el nuevo servidor:

Ahora debes subir todos los archivos que respaldaste a tu nuevo servidor dentro de la carpeta www o public_html, INCLUYENDO tu base de datos comprimida.

Cuarto Paso - Importar la base de datos MySQL:

Ahora debes importar nuevamente la base de datos en el nuevo servidor, utilizando el Phpmyadmin subes el archivo generado con el EXPORT y listo. Obviamente antes debes tener creada la base de datos.

Quinto Paso - Modificar archivo CONFIGURATION.PHP: 

$mosConfig_absolute_path: Ruta absoluta del nuevo servidor. Ejemplo: "/path/to/joomla/installation".

$mosConfig_cachepath: Ruta absoluta del cache del nuevo servidor. Ejemplo: "/path/to/joomla/installation/cache".

$mosConfig_live_site: Este es la URL del sitio. Ejemplo: "http://www.yoursite.com".

$mosConfig_host: Esta es la ubicación de tu nuevo servidor MySQL.

$mosConfig_db: Nombre de la base de datos MySQL.

$mosConfig_user: Nombre de usuario de la base de datos.

$mosConfig_password: Contraseña del usuario de la base de datos.

Sexto Paso - Probar el sitio:

Listo ahora debemos hacer las pruebas para asegurarnos que todo este OK.